Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

1 bod

1\( M \) je množina všech reálných čísel, která splňují současně dvě podmínky:- číslo je menší než 3,- absolutní hodnota čísla je větší nebo rovna 4.Množinu \( M \) zapište intervalem.

1 bod

2Je dán výraz:\( \cfrac{2c+12}{2-c} \cdot (6-c) \)Určete všechny hodnoty \( c \in R \), pro které je hodnota výrazu rovna nule.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3

Na filmovém festivalu byly vyčleněny peníze na odměny. Čtvrtina z celkové částky na odměny byla vyplacena šesti celebritám, zbytek byl rozdělen mezi pracovníky festivalu. Přitom celebrity tvořily pouhá 2,5 procenta všech osob, kterým byly odměny vyplaceny.

(Žádný z pracovníků fesitavu není celebritou.)

(CZVV)

max. 2 body

3

3.1Určete počet všech osob, kterým byly na festivalu vyplaceny odměny.

3.2Vypočtěte, kolikrát byla průměrná finanční odměna pro celebritu větší než průměrná finanční odměna pro pracovníka festivalu.

max. 3 body

4Pro \( a \in R\) je dán výraz:\( \cfrac{a-a^{-1}}{a^{0}-a^{2}} \)

4.1Výraz zjednodušte.

4.2Určete, pro která reálná čísla \( a \) má výraz smysl (tj. podmínky).

max. 2 body

5V oboru \( R \) řešte rovnici:\( \cfrac{x+10}{x} + \cfrac{100}{10x-x^2} = \cfrac{x+20}{x-10} \)

1 bod

6Bod \( A \) grafu funkce \( g\text{: } y=0.75x-0.5 \) má obě souřadnice \( x, y \) stejné.Určete souřadnice bodu \( A \).

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 7

V soutěži bylo možné získat 0 až 6 bodů.

Výsledky soutěžících jsou zaznamenány v tabulce, ale jeden údaj chybí.

S doplněným údajem bude medián počtu získaných bodů 5.

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

(CZVV)

1 bod

7Určete nejmenší možný počet soutěžících, kteří získali 5 bodů.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8

Obrazec je vytvořen z 9 dlaždic ve tvaru písmene "L".

Dlaždice jsou umístěny těsně vedle sebe a postupně se zvětšují. Rozměry každých dvou sousedních dlaždic jsou v poměru 1 : 2.

Délku celého obrazce vytvořeného z 9 dlaždic označené \( d \).

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

Každou dlaždici lze rozdělit na tři shodné čtverce.

První dlaždice je nejmenší. Její obsah je \( 3 \ mm^{2}\).

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

(CZVV)

max. 3 body

8V obrazci vytvořeném z 9 dlaždic určete

8.1Obsah plochy paté nejmenší dlaždice (v \( mm^{2} \)),

8.2délku \( d \) celého obrazce (v \( mm \)).

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9

Před vstupem do místnosti je nutné otevřít dvoje dveře. U každých dveří se zadává čtyřmístný kód, který může obsahovat číslice 0-9. Dále platí:

Kód u prvních dveří

- obsahuje všechny čtyři číslice 1, 2, 3, 4.

Kód u druhých dveří splňuje současně tři následující podmínky:

- neobsahuje žádnou číslici, která je v kódu u prvních dveří,

- obsahuje právě dvakrát číslici 0, a to na druhém a třetím místě,

- neobsahuje kromě číslice 0 žádnou jinou číslici vícekrát.

(CZVV)

max. 2 body

9Určete počet všech možností splňujících podmínky zadání pro kód

9.1u prvních dveří,

9.2u druhých dveří.

1 bod

10V oboru \( R \) řešte rovnici:\( 2 \cdot 4^{x} = \sqrt{8} \)

1 bod

11Určete souřadnice průsečíku \( P[x_{p};y_{p}]\) grafu funkce \( f \) se souřadnicovou osou \( x \).\( f\text{: } y = 4-2 \cdot \log_3 x \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 12-13

V soustavě souřadnic \( Oxy \) je zobrazena přímka \( p \), která protíná souřadnicové osy v bodech \( M[-4;0] \) a \( N[0;2] \).

Přímka \( q \) je rovnoběžná s osou \( y \) a prochází bodem \( A[-6;5] \).

Obě přímky se protínají v bodě \( P \).

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

(CZVV)

1 bod

12Zapište směrnicový tvar přímky \( p \).

1 bod

13Vypočítejte vzdálenost bodů \( O \), \( P \).

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14

Ruské kolo s 15 kabinami se otáčí kolem vodorovné osy. jedenkrát dokola se ruské kolo otočí za 4 minuty a 16 sekund.

Každá kabina se tak pohybuje rovnoměrně po kružnici a za každé 4 sekundy urazí dráhu dlouhou 3 metry.

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

Rozměry kabiny neuvažujte. Při výpočtech kabinu nahraďte jedním jejím bodem.

(CZVV)

max. 2 body

14Vypočtěte v metrech

14.1délku dráhy, kterou urazí jedna kabina při jednom otočení ruského kola (tedy za 4 minuty a 16 sekund),

14.2velikost výškového rozdílu, který při otáčení ruského kola překoná jedna kabina od nejnižší možné polohy k nejvyšší možné poloze.Výsledek zaokrouhlete na celé metry.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 15

Modelka Tereza měla přislíbený výdělek o 5000 korun vyšší než modelka Marie, ale nakonec si obě modelky vydělaly stejně. Přitom Tereza si vydělala o polovinu více, než měla přislíbeno, a Marie dokonce dvojnásobek toho, co měla přislíbeno.

(CZVV)

max. 3 body

15Užitím rovnice nebo soustavy rovnic vypočtěte, kolik korun si vydělaly dohromady Tereza s Marií.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16

Obchodní řetězec si na 13 letních týdnů objednal vejce od farmářu Marka a Petra.

Marek prodával řetězci každý týden o pětinu více vajec než Petr.

Každý pracovní den prodal Marek řetězci 600 vajec, tedy pětinu svého tydenního prodeje.

(CZVV)

max. 2 body

16Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (16.1-16.4), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

16.1Petr prodával řetězci každý týden o 20% méně vajec než Marek.

16.2Petr prodával řetězci každý týden o 500 vajec méně než Marek.

16.3Marek s Petrem prodávali řetězci dohromady 5 500 vajec týdně.

16.4Za 13 letních týdnů prodal Marek řetězci o 20% více vajec než Petr.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 17

Osově souměrný rovinný obrazec je tvořen dvěma shodnými kosočtverci.

Obvod obrazce je \( 24 \ cm \) a vyznačený úhel \( \varphi \) má velikost \( 140^{\circ} \).

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

(CZVV)

2 body

17Jaký je obsah obrazce?Výsledek je zaokrouhlen na celé \( cm^{2} \).A)      \( 21 \ cm^{2} \)B)      \( 24 \ cm^{2} \)C)      \( 27 \ cm^{2} \)D)      \( 28 \ cm^{2} \)E)      \( 30 \ cm^{2} \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 18

Střecha chalupy překrývá obytnou část a kůlnu. Nejvyšší stěna chalupy má výšku \( h \).

Rozměry uvedené v náčrtku jsou v metrech.

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

(CZVV)

2 body

18Jaká je výška \( h \) nejvyšší stěny chalupy?A)      menší než \( 3.5 \ m \)B)      \( 3.5 \ m \)C)      \( 3.6 \ m \)D)      \( 3.7 \ m \)E)      větší než \( 3.7 \ m \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 19

Dvě nádoby mají tvar válce. První z nádob je třikrát vyšší než druhá, ale průměr dna má dvakrát menší než druhá.

První nádobu naplníme po okraj vodou a potom všechnu vodu přelijeme do druhé nádoby, která byla prázdná.

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

(CZVV)

2 body

19Jakou část objemu druhé nádoby voda zaplní?A)      \( \cfrac{3}{4} \)B)      \( \cfrac{2}{3} \)C)      \( \cfrac{2}{9} \)D)      \( \cfrac{1}{5} \)E)      Voda přeteče, objem druhé nádoby je menší než objem první nádoby.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 20

V kvádru \( ABCDEFGH \) se čtvercovou podstavou \( ABCD \) platí:

Vrchol \( C \) je od hrany \( GH \) ve vzdálenosti \( 3 \ cm \) stejně jako od stěnové úhlopříčky \( BD \), tedy \( \left | C; \leftrightarrow GH \right | = \left | C; \leftrightarrow BD \right | = 3 \ cm \).

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

(CZVV)

2 body

20Jaký je objem kvádru?A)      \( 27 \ cm^{3} \)B)      \( 27\sqrt{2} \ cm^{3} \)C)      \( 27\sqrt{3} \ cm^{3} \)D)      \( 54 \ cm^{3} \)E)      jiný objem

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 21

Přímka \( p \) protíná souřadnicové osy v mřížkovaných bodech.

Přímka \( q \) je rovnoběžná s osou \( y \).

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

(CZVV)

2 body

21Jaká je odchylka přímek \( p \), \( q \) ?Výsledek je zaokrouhlen na celé minuty.A)      \( 36^{\circ}52' \)B)      \( 37^{\circ}45' \)C)      \( 38^{\circ}40' \)D)      \( 39^{\circ}20' \)E)      větší než \( 40^{\circ} \)

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 22

V aritmetické posloupnosti s prvním členem \( a_1 = 2 \ \) platí, že dvojnásobek součtu druhého a třetího členu této posloupnosti je roven trojnásobku čtvrtého členu této posloupnosti.

(CZVV)

2 body

22Do kterého intervalu patří diference této posloupnosti?A)      \( \left \langle -1.5;-0.5 \right \rangle \)B)      \( \left ( -0.5;0.5 \right \rangle \)C)      \( \left ( 0.5;1.5 \right \rangle \)D)      \( \left ( 1.5;2.5 \right \rangle \)E)      Taková posloupnost neexistuje.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 23

Žáci uspořádali pro svého učitele tombolu s 30 losy. Z těchto losů každý třetí vyhrává. Učitelům matematiky darovali celkem 4 losy.

(CZVV)

2 body

23Jaká je pravděpodobnost, že ani jeden z těchto 4 darovaných losů nevyhraje?Výsledek je zaokrouhlen na setiny.A)      \( 0.16 \)B)      \( 0.18 \)C)      \( 0.20 \)D)      \( 0.25 \)E)      \( 0.33 \)

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 24

V kartézské soustavě souřadnic \( Oxy \) je sestrojen graf lineární lomené funkce \( f \) s definičním oborem \( R \setminus \{0\} \).

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2018

(CZVV)

2 body

24Jaký je předpis funkce \( f \) ?A)      \( y = \cfrac{-2}{x} \)B)      \( y = \cfrac{2}{x-2} \)C)      \( y = \cfrac{x-2}{x+2} \)D)      \( y = \cfrac{x-2}{-x+2} \)E)      \( y = \cfrac{x-2}{x} \)

max. 4 body

25Ke každé z následujících funkcí (25.1-25.4) s definičním oborem \( R \) přiřaďte obor hodnot (A-F) dané funkce.A)      \( R \)B)      \( \left ( -\infty ; 0 \right \rangle \)C)      \( \left ( -\infty ; 3 \right \rangle \)D)      \( \left \langle 0 ; + \infty \right ) \)E)      \( \left \langle 3 ; + \infty \right ) \)F)      \( \{3\} \)

25.1\( y = (x-3)^2 \)

25.2\( y = 3+x^2 \)

25.3\( y = x-3 \)

25.4\( y = 3 \)

max. 3 body

26Ke každé nerovnici (26.1-26.3) řešené v oboru \( R \) přiřaďte odpovídající množinu všech řešení (A-E).A)      \( \varnothing \)B)      \( \{0\} \)C)      \( \left \langle 0 ; + \infty \right ) \)D)      \( \left ( -\infty ; 0 \right \rangle \)E)      jiná množina

26.1\( x^{2} \leq 0 \)

26.2\( -2x \leq 4-2 \cdot 2 \)

26.3\( \cfrac{2x^{2}-4x}{(x-2) \cdot y} \leq 0 \)