Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

1 bod

1Vyjádřete jednu polovinu rozdílu výrazu \( \cfrac{15n}{6} \) a \( \cfrac{15n}{8} \) v uvedeném pořadí v co nejjednodušším tvaru (\( n \in N \)).

1 bod

2Pro \( a \in (0;+\infty) \) zjednodušte:\( \sqrt{16 \cdot a^{16}} \cdot \sqrt[3]{a^{-3}} = \)

1 bod

3V oboru \( R \) řešte nerovnici:\( 2x-1 > -2 + 2x \)

max. 2 body

4Pro \( a \in R \setminus \{0;2\} \) zjednodušte:\( \left ( 2 - \cfrac{2a}{a-2} \right ) : \cfrac{a}{2a-4} = \)

max. 2 body

5Řešte soustavu rovnic s neznámými \( x,y,z \in R \):\( x+2y=-1 \)\( z-2y=-2 \)\( x-2z=-3 \)

max. 2 body

6V oboru \( R \) řešte rovnici:\( 2x-3 = (2x-3)(2x+3) \)

1 bod

7Pro všechna \( x,y \in (0;+\infty) \) platí:\( log \ y = 2 log \ x + 2 \)Vyjádřete proměnnou \( y \) tak, aby zápis neobsahoval logaritmy.

VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 8

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

(CZVV)

max. 2 body

8Funkce \( f \text{: } y = - \cfrac{2}{x} \ \) je definována pro všechna \( x \in R \setminus \{0\} \).

8.1Sestrojte graf funkce \( f \). Graf musí procházet body \( A[-1; \ \ \ ], \ B[1; \ \ \ ], \ C[2; \ \ \ ], \) jejichž chybějící souřadnice dopočtěte.

8.2Zapište všechna \( x \), pro něž je hodnota funkce \( f \) záporná (\(y <0\)).

max. 2 body

9Z množiny po sobě jdoucích přirozených čísel od 1 do 100 se náhodně vybere jedno číslo.Vypočtěte pravděpodobnost, že:

9.1vybrané číslo je dělitelné osmi;

9.2vybrané číslo je dělitelné dvěma, ale není dělitelné osmi.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10

Počáteční a koncové body vektorů \( \vec{u}, \vec{v} \) jsou umístěny v mřížových bodech.

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

(CZVV)

1 bod

10Určete souřadnice vektoru \( \vec{w} = \vec{u} + \vec{v} \).

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11

Je dána přímka \( p \).

\( p \text{: } x = -4+2t \).

\( \ \ \ \ y = 1-t, \ t \in R \)

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

(CZVV)

max. 2 body

11Doplňte souřadnice bodů \( K[-2;y], \ L[x; -4], \ \)které leží na přímce \( p \).

1 bod

12Funkce \( f \text{: } y = \left ( \cfrac{9}{4} \right )^{x} \) je definována pro všechna \( x \in R \). Z množiny \( M = \left \{ -\cfrac{9}{4}; \ -1; \ 0; \ \cfrac{9}{4}; \ \cfrac{3}{2}; \ 3 \right \} \) vypište všechna čísla, která patří do oboru hodnot funkce \( f \).

max. 2 body

13Řešte rovnici s neznámou \( x \in \left \langle 0^{\circ};360^{\circ} \right \rangle \):\( tg \ x = -1 \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14

Rozměry uvedené v obrázku jsou v centimetrech.

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

(CZVV)

max. 2 body

14V trojúhelníku \( ABC \) vypočtěte bez zaokrouhlování:

14.1velikost vnitřního úhlu \( \gamma \);

14.2výšku \( v_c \) na stranu \( AB \) v centimetrech.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 15

Do školní knihovny se zakoupilo 12 stejných učebnic němčiny a několik stejných učebnic španělštiny.

Za všechny zakoupené učebnice němčiny se zaplatilo stejně jako za všechny učebnice španělštiny.

Cena jedné učebnice španělštiny byla o \( 60 \ Kč \) vyšší než cena jedné učebnice němčiny.

kdyby se zakoupilo 12 kusů učebnic němčiny a 12 kusů učebnic španělštiny, učebnice by stály celkem \( 3600 \ Kč \).

(CZVV)

max. 3 body

15

15.1Užitím rovnice nebo soustavy rovnic vypočtěte, kolik \( Kč \) stála jedna učebnice němčiny.

15.2Vypočtěte, kolik učebnic španělštiny se zakoupilo do školní knihovny.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16

Eva, její starší kamarád Marek a jeho vlastní babička dnes mají narozeniny.

Babičce je 72 let, Markovi je \( m \) let a Evě je o \( d \) let méně než babičce.

(CZVV)

max. 2 body

16Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (16.1-16.4), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

16.1Všem třem osobám je dohromady \( (144+m-d) \) let.

16.2Babička je \( (72:m) \text{ krát} \) starší než Marek.

16.3Eva je o \( (72+d-m) \) let mladší než Marek.

16.4Když se narodila Eva, Markovi bylo \( (m+d-72) \) let.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 17

Z Místa pozorování \( M \) je možné zaměřit body \( K, L \) na obou krajích silnice v zorném úhlu \( \varphi \).

Platí: \( \left | ML \right | = 55 \ m, \ \left | KL \right | = 6 \ m, \ \left | \sphericalangle QKM \right | = 55^{\circ}, \ \left | \sphericalangle KML \right | = \varphi \), body \( Q, K \) a \( L \) leží na jedné přímce.

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

(CZVV)

2 body

17jaká je velikost zorného úhlu \( \varphi \)?Výsledek je zaokrouhlen na desetiny stupně.A)      \( 5.1^{\circ} \)B)      \( 6.3^{\circ} \)C)      \( 7.4^{\circ} \)D)      \( 8.2^{\circ} \)E)      jiná velikostt

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 18

V lichoběžníku \( ABCD \) o obsahu \( 32 \ cm^2 \) je výška \( v = 4 \ cm \) a délka základny \( 6 \ cm \).

Lichoběžník je úhlopříčkou \( BD \) rozdělen na dva trojúhelníky \( ABD \) a \( BCD \).

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

(CZVV)

2 body

18O kolik \( cm^2 \) se liší obsahy trojúhelníků \( ABD \) a \( BCD \)?A)      o \( 5 \ cm^2 \)B)      o \( 6.5 \ cm^2 \)C)      o \( 7 \ cm^2 \)D)      o \( 7.5 \ cm^2 \)E)      o \( 8 \ cm^2 \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 19

Kvádr, jehož podstava má rozměry \( 8 \ cm \) a \( 6 \ cm \), má výšku \( 10 \ cm \). Kvádr je jedním svislým řezem rozpůlen na dva shodné trojboké hranoly.

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

(CZVV)

2 body

19Jaký je povrch jednoho trojbokého hranolu?A)      \( 188 \ cm^2 \)B)      \( 198 \ cm^2 \)C)      \( 240 \ cm^2 \)D)      \( 288 \ cm^2 \)E)      \( 308 \ cm^2 \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 20

Délky podstavných hran dvou kvádrů (I a II) jsou v poměru:

\( a_1 : a_2 = 2:1\)

\( b_1 : b_2 = 3:4\)

Výšky obou kvádrů jsou shodné.

Kvádr I má objem \( V_1 \), kvádr II objem \( V_2 \).

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

(CZVV)

2 body

20Jaký je poměr \( V_1 : V_2 \)?A)      \( 3 : 2 \)B)      \( 4 : 3 \)C)      \( 6 : 5 \)D)      \( 1 : 1 \)E)      Poměr nelze určit.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 21

Polokoule má povrch \( 108 \pi \ cm^2 \) včetně podstavy.

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

(CZVV)

2 body

21Jaký je objem polokoule?Výsledek v \( cm^3 \) je zaokrouhlen na celé číslo.A)      \( 186 \ cm^3 \)B)      \( 280 \ cm^3 \)C)      \( 452 \ cm^3 \)D)      \( 831 \ cm^3 \)E)      jiný objem

VÝCHOZÍ TEXT ÚLOZE 22

Každý člen výpravy (řidič, dvě učitelky a 27 studentů) si zakoupil jednu slosovatelnou vstupenku. Z těchto 30 vstupenek budou čtyři vylosovány a jejich majitelé získají některou z cen.

(CZVV)

2 body

22jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři ceny získají jen studenti?Hodnota pravděpodobnosti je zaokrouhlena na setiny.A)      \( 0.12 \)B)      \( 0.15 \)C)      \( 0.64 \)D)      \( 0.68 \)E)      jiná pravděpodobnost

2 body

23Přímka \( p \) prochází bodem \( B \) a je kolmá k úsečce \( AB \).Platí: \( A[-3;-1], \ B[2;1] \).Kterou rovnicí je určena přímka \( p \)?A)      \( 5x-2y-8=0 \)B)      \( 5x+2y-12=0 \)C)      \( 2x-5y+1=0\)D)      \( 2x+5y-9=0\)E)      žádnou z výše uvedených

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 24

Grafem funkce \( f \) je parabola \( (D_f = R) \).

Didaktický test z matematiky - podzimní termín 2017

(CZVV)

2 body

24Které z následujících tvrzení je pravdivé?A)      Graf funkce \( f \) je souměrný podle přímky \( p \text{: } x-1=0 \).B)      Funkce \( f \) má předpis \( y = (x+1)^2 \).C)      Funkce \( f \) je klesající v intervalu \( (-\infty;0) \).D)      Obor hodnot funkce \( f \) je interval \( (0;+\infty) \).E)      \( f(0) = -1 \)

max. 4 body

25Přiřaďte ke každé posloupnosti (25.1-25.4) její druhý člen \( a_2 \) (A-F).A)      \( a_2 = 4 \)B)      \( a_2 = 5 \)C)      \( a_2 = 6 \)D)      \( a_2 = 7 \)E)      \( a_2 = 8 \)F)      jiná hodnota \( a_2 \)

25.1Aritmetická posloupnost: \( a_1 = \cfrac{21}{2}; \ a_6 = -7 \)

25.2Aritmetická posloupnost: \( a_1 = 12; \ s_4 = 0 \)

25.3Geometrická posloupnost: \( a_1 = 8; \ a_4 = -1 \)

25.4Geometrická posloupnost: \( q = - \cfrac{1}{2}; \ s_3 = -12 \)

max. 3 body

26

26.1Na pozemku o rozloze \( 0.16 \ km^2 \) je vytyčena čtvercová zahrada s délkou hrany \( 0.2 \ km \).Kolik procent plochy pozemku čtvercová zahrada zabírá?A)      méně než \( 20\% \)B)      \( 20\% \)C)      \( 25\% \)D)      \( 36\% \)E)      více než \( 36\% \)

26.2Stroj ztrácí každoročně \( 40 \% \) ceny z předešlého roku.Na kolik procent současné ceny se sníží cena stroje za 2 roky?A)      na méně než \( 20\% \)B)      na \( 20\% \)C)      na \( 25\% \)D)      na \( 36\% \)E)      na více než \( 36\% \)

26.3Svetr byl před Vánocemi zdražen o \( 25\% \). V lednu byl zdražený svetr zlevněn zpět na cenu, kterou měl před zdražením.O kolik procent byla v lednu snížena cena zdraženého svetru?A)      o méně než \( 20\% \)B)      o \( 20\% \)C)      o \( 25\% \)D)      o \( 36\% \)E)      o více než \( 36\% \)