Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

1 bod

1\( Z \) je množina všech celých čísel, \( A = \left ( -2;3 \right \rangle \).Určete všechny prvky množiny \( A \cap Z \).

1 bod

2Vypočtěte 50% z čísla \( 2^{1000} \).Výsledek vyjádřete rovněž ve tvaru mocniny.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3

Vlak má tři vagony, všechny se stejným počtem míst. V každém vagonu je o 20 míst k stání více než k sezení.

Při odjezdu z Roztok byl vlak zaplněn přesně do poloviny své kapacity. V prvním a posledním vagonu byla všechna místa k sezení obsazena, ale ve druhém vagonu zůstalo 25% míst k sezení volných.

(Kapacita vlaku je součet počtu všech míst k stání a sezení. Každý cestující obsadil buď jedno místo k stání, nebo jedno místo k sezení.)

(CZVV)

max. 2 body

3Počet míst k sezení v jednom vagonu označme \( n \).Vyjádřete v závislosti na veličině \( n \) počet všech cestujících, kteří při odjezdu z Roztok

3.1byli ve vlaku;

3.2ve vlaku stáli.

max. 2 body

4Pro \( a \in R \setminus \{ -3;0;3 \} \) zjednodušte:\( \cfrac{ \ 1 + \cfrac{ 3 }{ a } \ }{ \ \cfrac{ a^2 }{ 3 } - 3 \ } = \)

max. 2 body

5V oboru \( R \) řešte rovnici:\( \cfrac{2x+8}{4x^2-8x} - \cfrac{5}{2x} = \cfrac{1}{x} \)

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6

Na zámek přišly pouze dvě třetiny všech účastníků zájezdu, ale na prohlídku zámku nakonec čtyři z těchto příchozích nešli. Prohlídky zámku se tak zúčastnila jen polovina všech účastníků zájezdu.

(CZVV)

1 bod

6Určete počet všech účastníků zájezdu.

max. 2 body

7Kvadratická funkce má předpis \( y = 2x^2-3x \). Její graf protíná přímka \( p \) ve dvou různých bodech \( P[p_1;9] \) a \( Q[q_1;9] \).Vypočtěte souřadnice \( p_1,q_1 \) bodů \( P,Q \).

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8

Je dána funkce \( f\text{: } y = log_{2}x. \)

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

(CZVV)

max. 3 body

8

8.1Dopočtěte souřadnici \( a_2 \) bodu \( A[4;a_2] \) grafu funkce \( f \).

8.2Dopočtěte souřadnici \( b_1 \) bodu \( B[b_1;-1] \) grafu funkce \( f \).

8.3Sestrojte graf funkce \( f \) s přesně vyznačenými body \( A,B \) a průsečíkem \( P \) grafu funkce \( f \) se souřadnicovou osou \( x \).

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9

V Kocourkově navrhli nereálný plán stavby dvou sloupů sahajících do nebe.

Na stavbu se má použít celkem 20 válců. Jednotlivé válce jsou podle výšky označeny pořadovými čísly od 1 do 20.

Nejnižší je 1. válec s výškou 1 m, 2. válec má výšku 2 m a rovněž každý další válec je dvakrát vyšší něž válec s pořadovým číslem o 1 nižším. (Tedy 3. válec má výšku 4m, 4. válec 8 m atd.)

Nižší sloup bude postaven ze všech válců označených lichými pořadovými čísly od 1 do 19, vyšší sloup ze všech válců označených sudými pořadovými čísly od 2 do 20.

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

(CZVV)

1 bod

9Určete v metrech

9.1výšku 20. válce;

9.2výšku nižšího sloupu.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10

Pravý úhel je rozdělen na tři úhly, jejichž velikosti tvoří tři po soboě jsoucí členy aritmentické posloupnosti. Nejmenší z těchto úhlů má velikost \( 11^{\circ} \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

(CZVV)

1 bod

10Určete ve stupních velikost největšího z těchto tří úhlů.

1 bod

11Pro dva různé úhly \( \alpha = 112^{\circ}, \beta \in \left \langle 0^{\circ};360^{\circ} \right \rangle \) platí \( cos \alpha = cos \beta \). Určete ve stupních velikost úhlu \( \beta \).

1 bod

12V oboru R řešte rovnici:\( \cfrac{25^{x}}{5} = 5 \cdot 5^{x-2} \)

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 13

Trojmístný kód obsahuje vždy písmeno A a dvě různé číslice z deseti možných (0-9).

Vyhovují např. kódy A36, 0A1, 69A.

(CZVV)

1 bod

13Určete počet všech možných kódů vyhovujících zadání.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14

Během prvních 5 dnů se vyrobilo denně v průměru o čtvrtinu výrobků méně, než se vyrobilo v každém z 10 následujících dnů. Celkem se tak za 15 dnů vyrobilo 2 200 výrobků.

(CZVV)

max. 3 body

14Užitím rovnice nebo soustavy rovnic určete celkový počet výrobků vyrobených za prvních 5 dnů.

max. 2 body

15Rotační válec, jehož výška je rovna průměru podstavy, má objem 1 litr.Vypočtěte v cm výšku tohoto válce.Výsledek zaokrouhlete na desetiny cm.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 16

Lichoběžník \( ABCD \) je rozdělen úlhopříčkou na dva podobné trojúhelníky \( ABD \) a \( BDC \).

V trojúhelníku jsou vyznačeny dvě dvojice shodných úhlů \( \alpha, \beta \).

Platí: \( \left | AD \right | = 5.6 \ cm, \ \left | BD \right |= 6.4 \ cm, \ \left | CD \right | = 8 \ cm \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

(CZVV)

max. 2 body

16Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (16.1-16.4), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

16.1\( \left | AB \right | : \left | BD \right | = \left | BD \right | = \left | CD \right | \)

16.2Obvod trojůhelníku \( BCD \) je \( 1,25 \ \text{krát} \) větší než obvod trojůhelníku \( ABD \).

16.3\( \left | AB \right | = 5.12 \ cm \)

16.4\( \left | BC \right | = 7 \ cm \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 17

Obrazec je ohraničen třemi půlkružnicemi.

Společné krajní body půlkružnic tvoří vrcholy rovnoramenného trojúhelníku se základnou délky \( 12 \ cm \).

Obsah tohoto trojúhelníku je \( 48 \ cm^{2} \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

(CZVV)

2 body

17Jaký je obvod obrazce ohraničeného třemi půlkružnicemi?Výsledek je zaokrouhlen na celé \( cm \).A)      menší než \( 35 \ cm \)B)      \( 36 \ cm \)C)      \( 39 \ cm \)D)      \( 50 \ cm \)E)      větší než \( 51 \ cm \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 18

V trojúhelníku \( ABC \) platí:

\( \left | BC \right | = 6cm, \ \left | CP \right | = 5cm, \ \left | \sphericalangle BAC \right | = 38^{\circ}, \ \left | \sphericalangle BPC \right | = 95^{\circ}, \ P \in AB \)

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

(CZVV)

2 body

18Jaká je velikost vnitčního úhlu \( ABC \) v daném trojúhelníku?Výsledek je zaokrouhlen na celé stupně.A)      \( 83^{\circ} \)B)      \( 86^{\circ} \)C)      \( 90^{\circ} \)D)      \( 102^{\circ} \)E)      větší než \( 103^{\circ} \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 19

V krychli jsou dva čtyřboké jehlany umístěny tak, že mají společný hlavní vrchol a podstavy obou jehlanů tvoří rovnoběžné stěny krychle.

Výšky obou jehlanů jsou v poměru \( v_{1} : v_{2} = 3 : 2 \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

(CZVV)

2 body

19Jakou část objemu krychle tvoří objem většího z obou jehlanů?A)      \( \cfrac{3}{5} \)B)      \( \cfrac{1}{3} \)C)      \( \cfrac{2}{9} \)D)      \( \cfrac{1}{5} \)E)      \( \cfrac{1}{6} \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 20

Rozvinutý plášť rotačního kužele tvoří půlkruh o poloměru \( 10 \ cm \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

(CZVV)

2 body

20Jaký je povrch kužele (včetně podstavy)?A)      \( 75\pi \ cm^{2} \)B)      \( 100\pi \ cm^{2} \)C)      \( 125\pi \ cm^{2} \)D)      \( 150\pi \ cm^{2} \)E)      jiný povrch

2 body

21V rovině jsou dány body \( A[-21;9], \ B[15;-5] \) a \( P[0;-2] \).Bod \( S \) je střed úsečky \( AB \).Jaká je vzdálenost bodů \( P, \ S \)?A)      \( 3,5 \)B)      \( 4 \)C)      \( 4,5 \)D)      \( 5 \)E)      jiná vzdálenost

2 body

22V geometrické posloupnosti platí:\( a_{2} = \sqrt[3]{3} \)\( a_{3}= -\sqrt[3]{9} \)Jaká je hodnota součtu \( a_{1} + a_{4} \)?A)      \( 2 \)B)      \( 1 \)C)      \( 0 \)D)      \( -1 \)E)      jiná hodnota

2 body

23Pro kterou z následujících nerovnic s neznámou \( x \in R \) je množinou všech řešení interval \( (-\infty ;0) \)?A)      \( -2x < 0 \)B)      \( \cfrac{x}{x-1} < 0 \)C)      \( \cfrac{x}{-2} \geq 0 \)D)      \( \cfrac{2x}{x} < 0 \)E)      \( 2x < x \)

2 body

24Je dán výraz \( \ \cfrac{12(a-2)^{2}}{12-6a} \ \) s reálnou proměnou \( a \).Které tvrzení je pravdivé?A)      Pro \( a = 101^{8} \) je výraz kladný.B)      Pro \( a = 2 \) je hodnota výrazu \( 0 \).C)      Hodnota výrazu nemůže být nikdy nulová.D)      Pro všechna \( a \ \cancel{=} \ \cfrac{1}{6} \) je výraz roven \( \cfrac{(a-2)^{2}}{1-6a} \).E)      Pro některá \( a \) je výraz roven \( 2(a-2) \).

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 25

V rodině Novotných mají 4 děti, a to 2 dívky a 2 chlapce. V rodině Dlouhých mají také 4 děti, ale jen 1 dívku a 3 chlapce.

Z uvedených osmi dětí se vylosuje dvojice dětí.

(CZVV)

max. 4 body

25Přiřaďte ke každému z následujících jevů (25.1-25.4) pravděpodobnost (A-F), s kterou může daný jev nastatA)      \( \cfrac{1}{28} \)B)      \( \cfrac{1}{14} \)C)      \( \cfrac{3}{28} \)D)      \( \cfrac{1}{7} \)E)      \( \cfrac{3}{14} \)F)      \( \cfrac{5}{14} \)

25.1Ve vylosované dvojici budou dvě dívky.

25.2Ve vylosované dvojici budou dva chlapci.

25.3Ve vylosované dvojici budou oba chlapci Novotných.

25.4Ve vylosované dvojici bude 1 chlapec Novotných a jedna dívka Dlouhých.

max. 3 body

26Přiřaďte ke každé přímce (26.1-26.3) její analytické vyjádření (A-E).A)      \( y = -x +2 \)B)      \( x + 2y - 4 = 0 \)C)      \( x = 2 + 2t, y = 1 + t; t \in R \)D)      \( x = t, y = 2; t \in R \)E)      \( x = 2, y = t; t \in R \)

26.1Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

26.2Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019

26.3Didaktický test z matematiky - jarní termín 2019