Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

1 bod

1Odstraňte závorky a zjednodušte \( (n \in N) \):\( 2 \left ( 3 - \cfrac{n}{2} - \cfrac{n}{2} \right ) \left ( 3 + \cfrac{n}{2} + \cfrac{n}{2} \right ) = \)

1 bod

2V oboru \( R \) řešte nerovnici a množinu všech řešení zapište intervalem.\( \cfrac{14-2x}{-2}+2 < 0 \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3

Na číselné ose jsou obrazy tří čísel: \( 0 \text{, } m \text{ a } 3m-1 \). Vyznačené dílky jsou stejně dlouhé.

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

max. 2 body

3

3.1Vyjádřete poměr:\( m : (3m-1) = \)

3.2Na číselné ose vyznačte (silnou čarou) a popište obraz čísla 1.

max. 2 body

4Pro \( y \in R \setminus \{0; 1; 2\} \) zjednodušte:\( \cfrac{ \ y-1-\cfrac{1}{y-1} \ }{ \ 2y^{2}-4y \ } = \)

max. 2 body

5V oboru \( R \) řešte:\( \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{x-2}{4} \cdot x = 1 - \cfrac{x}{6} \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 6-7

Grafy funkcí \( f \) a \( g \) jsou přímky. Graf funkce\( f \) prochází počátkem \( O \) a bodem \( A \).

Grafy funkcí \( f \) a \( g \) se protínají v bodě \( B \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

1 bod

6Zapište předpis funkce \( f \).

max. 2 body

7Zapište obecnou rovnici přímky, která je grafem funkce \( g \).

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8

Graf kvadratické funkce \( f \) prochází body \( A[-5;0] \), \( B[-4;3] \), \( C[-3;4] \).

Osa souměrnosti \( o \) grafu kvadratické funkce \( f \) je určena rovnicí \( x = -3 \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

max. 3 body

8

8.1Zapište souřadnice vrcholu \( V[x;y] \) grafu funkce \( f \).

8.2V kartézské soustavě souřadnic \( Oxy \) sestrojte graf funkce \( f \).

8.3Zapište obor hodnot funkce \( f \).

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9

Obrazce jsou tvořeny bílými a tmavými šestiúhelníky uspořádanými do sloupců.

Počet šestiúhelníku ve sloupcích se postupně zvětšuje, a to od levého, resp. pravého okraje obrazce směrem ke středu.

Každý obrazec vždy začíná a končí sloupcem s jediným bílým šestiúhelníkem.

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

max. 2 body

9V jednom z dalších obrazců je v nejdelším sloupci 59 šestiúhelníků (nad sebou).

9.1Určete v tomto obrazci počet všech tmavých sloupců.

9.2Určete v tomto obrazci počet všech bílých šestiúhelníků.

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOHÁM 10-11

Soutěž má dvě kola. Body z obou kol se sčítají.

Soutěžící byli na počátku soutěže rozděleni do dvou skupin. V těchto skupinách absolvovali první i druhé kolo soutěže. Průměrné výsledky jsou uvedeny v tabulce.

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

1 bod

10Vypočtěte průměrný bodový zisk na osobu v prvním kole soutěže.(Počítejte se všemi 50 soutěžícími.)

1 bod

11Vypočítejte průměrný bodový zisk na osobu v celé soutěži.(Počítejte se všemi 50 soutěžícími.)

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 12-13

Tajný kód splňuje následující 3 pravidla:

- kód může obsahovat pouze číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6;

- žádné číslice se v kódu neopakují;

- počet číslic v kódu udává první číslice kódu.

(Uvedeným pravidlům vyhovují kódy 21, 326, 4325 a další.)

(CZVV)

1 bod

12Uveďte počet všech kódů, které mají na prvním místě číslici 3.

1 bod

13Uveďte počet všech kódů, které mají na prvním místě číslici 4, 5 nebo 6.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14

V obdélníku ABCD o obsahu \( 28 \ cm^{2} \) je umístěn trojúhelník \( CDE \). Oba obrazce mají společnou stranu \( CD \).

Platí: \( |BC| = 4 \ cm \), \( |CE| = 5 \ cm \), \( |DE| = 3 \ cm \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

max. 2 body

14Vypočtěte velikost úhlu \( \varphi \).

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 15

Pan Kocour uvažuje o výhodné investici, ale jeho kapitál by pokryl jen třetinu investice.

Proto nabídl spoluúčast panu Malému, jehož kapitál je o 200 milionů korun vyšší než kapitál pana Kocoura.

Aby společně pokryli celou investici, každý z nich uvolní přesně polovinu svého kapitálu.

(CZVV)

max. 3 body

15Užitím rovnice nebo soustavy rovnic vypočtěte v korunách

15.1hodnotu kapitálu pana Kocoura,

15.2částku, kterou na investici uvolní pan Malý.

max. 2 body

16Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (16.1-16.4), je-li pravdivé (A) pro všechna \( a > b > 0 \), či nikoli (N).

16.1\( (ab-2a)^{2}=a^{2}(b-2)^{2} \)

16.2\( \sqrt{a^{2}-b^{2}}=a-b \)

16.3\( \cfrac{a^{50}}{a^{10}}=a^{5} \)

16.4\( a \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a^{3}} \)

2 body

17Která z následujících rovnic má v oboru \( R \) právě jedno řešení?A)      \( x^{2} + 1 = 0\)B)      \( (x + 1)^{2} = x^{2} + 1\)C)      \( x^{2} - 1 = 0 \)D)      \( x^{2} = x \)E)      žádná z výše uvedených rovnic

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 18

Na obrázku jsou množiny \( A, B, C \).

Množina \( A \) obsahuje všechna čísla uvnitř kruhu, množina \( B \) všechna čísla uvnitř obdélníku a množina \( C \) všechna čísla uvnitř trojúhelníku.

Sjednocením všech tří množin je pětiprvková množina \( \{0, 1, 2, 3, 4 \} \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

2 body

18Které z následujících tvrzení je pravdivé?A)      \( B = \varnothing \)B)      \( A \cap B = \varnothing \)C)      \( A \cap C = \varnothing \)D)      \( B \cap C = \varnothing \)E)      žádná z výše uvedených tvrzení

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 19

Umístěním vektoru \( \vec{u} \) je orientovaná úsečka, jejíž počáteční i koncový bod leží v mřížkovém bodě.

Vektor \( \vec{v} = (x;10) \) je k vektoru \( \vec{u} \) kolmý.

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

2 body

19Jaká je souřadnice \( x \) vektoru \( \vec{v} \) ?A)      \( -15 \)B)      \( -12 \)C)      \( -9 \)D)      \( -8 \)E)      Vektor \( \vec{v} = (x;10) \) nemůže být nikdy kolmý k vektoru \( \vec{u} \).

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 20

Jsou dány vrcholy obdélníku \( ABCD \): \( A[-3;1] \), \( B[-2;-1] \), \( C[2;1] \), \( D[1;3] \).

Obdélníku \( ABCD \) je opsána kružnice \( k \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

2 body

20Jaký je obsah kruhu ohraničeného kružnicí \( k \) ?A) \( \quad 25 \pi \)B) \( \quad \cfrac{94}{5} \ \pi \)C) \( \quad \cfrac{25}{2} \ \pi \)D) \( \quad 5 \pi \)E) \( \quad \cfrac{25}{4} \ \pi \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 21

Pětiúhelník \( ABCED \) je složen ze čtverce \( ABCD \) o obsahu \( 100 \ cm^{2} \) a trojúhelníku \( CED \) o obsahu \( 30 \ cm^{2} \).

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

2 body

21Jaký je obsah trojúhelníku \( ABE \) ?A)      menší než \( 75 \ cm^{2} \) B)      \( 75 \ cm^{2} \)C)      \( 78 \ cm^{2} \)D)      \( 80 \ cm^{2} \)E)      větší než \( 80 \ cm^{2} \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 22

Z papírového obdélníku s rozměry \( 27 \ cm \) x \( 10 \ cm \) se zhotoví kvádr.

Vyznačené tmavé čtverce se použijí na podstavy kvádru, bílá část se beze zbytku rozstříhá na boční stěny kvádru.

Kvádr se po hranách spojí lepící páskou, papír se nebude nikde překrývat.

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

2 body

22Jaký je objem kvádru?A)      \( 250 \ cm^{3} \)B)      \( 270 \ cm^{3} \)C)      \( 275 \ cm^{3} \)D)      \( 550 \ cm^{3} \)E)      jiný objem

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 23

Voda o objemu \( 40.5\pi \ cm^{3} \) vyplňuje ve sklenici prostor tvaru rotačního kužele. Voda nesahá až po okraj sklenice, ale pouze do výšky \( 6 \ cm \) od vrcholu kužele.

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

2 body

23Jaký je obsah sklenice smáčené vodou?Výsledek je zaokrouhlen na desetiny \( cm^{2} \).A)      \( 51.9 \ cm^{2} \)B)      \( 54.3 \ cm^{2} \)C)      \( 106.0 \ cm^{2} \)D)      \( 169.5 \ cm^{2} \)E)      \( 211.9 \ cm^{2} \)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 24

Každá z 9 různých karet obsahuje jeden ze tří obrazců (trojúhelník, čtverec, kruh) v jedné ze tří barev (šedá, černá, modrá).

Karty zamícháme a náhodně odebereme 2 karty.

Didaktický test z matematiky - jarní termín 2018

(CZVV)

2 body

24Jaká je pravděpodobnost, že žádná z obou odebraných karet nebude obsahovat ani trojúhelník, ani obrazec černé barvy?A)      \( \cfrac{1}{6} \)B)      \( \cfrac{2}{9} \)C)      \( \cfrac{1}{3} \)D)      \( \cfrac{4}{9} \)E)      jiná pravděpodobnost

max. 4 body

25Ke každé rovnici (25.1-25.4) řešené v oboru \( R \) přiřaďte interval (A-E), v němž se nachází řešení dané rovnice, nebo prázdnou množinu (F), nemá-li rovnice řešení.A)      \( \left ( -\infty ; -1 \right \rangle \)B)      \( \left ( -1 ; 1 \right \rangle \)C)      \( \left ( 1 ; 2 \right \rangle \)D)      \( \left ( 2 ; 3 \right \rangle \)E)      \( \left ( 3 ; +\infty \right ) \)F)      \( \varnothing \)

25.1\( 3^{2x} = 9^{-x} \)

25.2\( 2^{2x} \cdot 2^{-x} = \cfrac{1}{2} \)

25.3\( log(x-2) = log(1-x) \)

25.4\( 2 \cdot log\ x = 1 \)

max. 3 body

26Přiřaďte ke každé úloze (26.1-26.3) odpovídající výsledek (A-E).A)      méně než 400 korunB)      430 korunC)      450 korunD)      480 korunE)      jiný počet korun

26.1Petr má 270 korun, což je o polovinu více, než má Karel.Kolik korun mají oba chlapci dohromady?

26.2Vklad 50 500 korun je uložen na 2 roky. Roční úroková sazba je 0.5%, úroky se zdaňují 15% a připisují se na účet vždy na konci roku.Kolik korun přibyde ke vkladu za 2 roky?(Výsledek je zaokrouhlen na celé číslo.)

26.3Stará poštovní známka během posledního roku dvakrát zvýšila svou cenu a to vždy o 25% z předchozí ceny. Nyní ji lze koupit za 750 korun.Jakou cenu měla před rokem?